Abc conjecture 読み：エービーシーコンジェクチャー
ABC予想 読み：エービーシーヨソウ
Oesterlé–Masser conjecture 読み：オステルレマッサーコンジェクチャー
とは、
『互いに素な正の整数 (a,b,c) が (a+b=c) を満たすとき、(c) の大きさが、(abc) に含まれる異なる素数の積によって一定の範囲に制限されるという数論の予想』
概要
ABC予想とは、整数の足し算と素因数分解の間に成り立つ関係についての予想。1985年にジョゼフ・オステルレ(Joseph Oesterlé)とデイヴィッド・マッサー(David Masser)によって提唱された。
正の整数 (a,b,c) が (a+b=c) を満たし、互いに素であるとする。このとき、(abc) に含まれる異なる素数を重複なく掛け合わせた数を (\operatorname{rad}(abc)) と表す。ABC予想は、任意の実数 (\varepsilon>0) に対して、
$$c > \operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}$$
を満たす組 ((a,b,c)) は有限個しか存在しないと主張する。つまり、(c) が異なる素数の積に比べて極端に大きくなる例は、どれほど大きな整数を考えても、一定の範囲に限られるという考え方である。同値な表現として、(\varepsilon>0) ごとに定数 (K_\varepsilon) が存在し、すべての該当する組について次の不等式が成り立つと述べることもできる。
$$c < K_\varepsilon\operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}$$
ABC予想が成立すれば、フェルマーの最終定理に関連する結果をはじめ、数論のさまざまな問題に重要な帰結が得られる。
望月新一は2012年に宇宙際タイヒミュラー理論を用いた証明を発表し、関連論文は2021年に学術誌に掲載されたが、その証明の数学的妥当性については異論があり、議論が続いている。
語源
詳細≫
「ABC」は、予想の対象となる整数 (a,b,c) を表す。「予想」は、数学において、正しいと考えられているものの、証明が確立していない命題を指す。ABC予想は、オステルレとマッサーによって1985年に提唱されたことから、Oesterlé–Masser conjecture「オステルレ・マッサー予想」とも呼ばれる。