日本語

「どこもかしこも」は、話し手の視点から見て、あらゆる場所に同じ状態や物事が及んでいることを強調して述べる言い回し。

「どこも」も「かしこも」も「どこでも」という意味を持ち、それを重ねることで、全体に一様に及んでいる様子や、満遍ない広がりを強調する語感になる。

・どこもかしこもゴミだらけだ。

・どこもかしこも観光客ばかりだ。

何処も「どこも」彼処も「あそこも」という意味から。
これらを重ねた「どこもかしこも」は、強調表現として江戸時代以降の話し言葉で用いられてきた。

「どこもかしくも」と言うのは誤用。

「彼処」は話し手から遠く離れた場所や相手を指す言葉。
視界や話の文脈で明確に離れている場所を示す際に使われる。

日常会話や文章で、指示対象が近くにないことを表現するときに用いられる。

彼「あれ」処/所「ところ」という意味から。
つまり「彼処」は「遠くの場所」を表す熟語。日常会話で使われる指示語として定着している。